高普考　109 年高考三級工程數學　考古題與詳解

本卷共 20 題，其中 20 題附有本站自撰的逐題詳解。題目與標準答案取自考選部「考畢試題查詢平臺」的公開資料；詳解由本站撰寫並標註出處。本頁列出全部題目與標準答案，並免費試讀前 3 題的詳解；其餘詳解在線上作答時逐題顯示。

▶ 線上作答這一卷（20 題，建議 60 分鐘）

1下列何者為以(1,2,2), (0,1, −2) ,(1,4,1),(2,5,5)為頂點之平行四邊形的面積？
1. (A) 144
2. (B) 144
3. (C) 86
4. (D) 8638120-38320
正解：(C)
逐題詳解（免費試讀）
✅ (C) 由頂點 (0,1,−2) 出發，兩鄰邊向量為 (1,1,4) 與 (1,3,3)（其和恰為 (2,4,7)，即對角頂點）。外積 = (−9, 1, 2)，面積 = √(81 + 1 + 4) = √86。
❌ (A) 頂點的相鄰關係判斷錯誤。
❌ (B) 外積計算有誤。
❌ (D) 該數值非本題的平行四邊形面積。
📚 出處：線性代數／向量分析－外積與平行四邊形面積。
2設平面 S1 : x + 2 y − 2 z = 3 、平面 S2 : 2 x + 4 y − 4 z = 7 ，則平面 S1 與平面 S2 之最短距離為何？
1. (A) 1/6
2. (B) 1
3. (C) 2
4. (D) 4
正解：(A)
逐題詳解（免費試讀）
✅ (A) 兩平面法向量成比例故為平行；將 S₂ 化為 x + 2y − 2z = 3.5，距離 = |3.5 − 3| ÷ √(1² + 2² + (−2)²) = 0.5 ÷ 3 = 1/6。
❌ (B) 1 未除以法向量的長度。
❌ (C) 2 計算基礎錯誤。
❌ (D) 4 明顯高估。
📚 出處：空間解析幾何－平行平面間的距離。
3（本題題幹與選項都在圖上，請見下圖作答）
正解：(D)
逐題詳解（免費試讀）
✅ (D) 圖中 A 為 4×4 矩陣，det(−2A) = (−2)⁴ × det(A) = 16 × (−2) = −32。
❌ (A) 4 未考慮純量倍數的 n 次方效果。
❌ (B) −4 同樣漏乘 2⁴。
❌ (C) 32 正負號有誤。
📚 出處：線性代數－行列式的純量倍數性質 det(kA) = kⁿ det(A)。
4（本題題幹與選項都在圖上，請見下圖作答）
正解：(C)
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5（本題題幹與選項都在圖上，請見下圖作答）
正解：(A)
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6（本題題幹與選項都在圖上，請見下圖作答）
正解：(A)
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7（本題題幹與選項都在圖上，請見下圖作答）
正解：(A)
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8（本題題幹與選項都在圖上，請見下圖作答）
正解：(C)
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9（本題題幹與選項都在圖上，請見下圖作答）
正解：(B)
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10（本題題幹與選項都在圖上，請見下圖作答）
正解：(C)
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11求解微分方程式 2+ 1.25 − 0.875 y = 0 ：dx dx
1. (A) y = c1e 0.5 x + c 2 e1.75 x
2. (B) y = c1e 0.5 x + c2 e −1.75 x
3. (C) y = c1e 3.5 x + c 2 e 0.25 x
4. (D) y = c1e 3.5 x + c2 e −0.25 x38120-38320
正解：(B)
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123x 2 + xyα − x 2 yα −1 y′ = 0 為正合（exact），則 α =？
1. (A) −2
2. (B) −1
3. (C) 0
4. (D) 1dny
正解：(A)
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13求微分方程式 y (4) + 4 y (3) + 7 y (2) + 6 y (1) + 2 y = 0 的通解：（其中 y ( n ) ≡ ＿＿＿。）dx n
1. (A) c1e − x + c 2 xe − x + c3 x 2 e − x + c4 x 3 e − x
2. (B) c1e − x + c 2 xe − x + c3 e x cos x + c4 e x sin x
3. (C) c1e − x + c 2 xe − x + c3 e − x cos x + c4 e − x sin x
4. (D) c1e − x + c 2 xe − x + c3 cosh x + c4 sinh x
正解：(C)
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14（本題題幹與選項都在圖上，請見下圖作答）
正解：(C)
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15利用拉氏轉換求 ∫ t cos(t )e −2 t dt = ？4 3 3 2A. B. C. D.25 25 23 25e−2 s
正解：(B)
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16（本題題幹與選項都在圖上，請見下圖作答）
正解：(C)
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17一週期函數 f ( x) = 1 + sin 2 2 x ，則其傅立葉級數（Fourier series）為：1 3 3 1 3 1 1 3
1. (A) f ( x) = − + sin 4 x
2. (B) f ( x) = − + sin 2 x
3. (C) f ( x) = − cos 4 x
4. (D) f ( x) = − cos 2 x2 2 2 2 2 2 2 2
正解：(C)
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18（本題題幹與選項都在圖上，請見下圖作答）
正解：(D)
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19（本題題幹與選項都在圖上，請見下圖作答）
正解：(C)
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20假設一隨機變數X，其動量產生函數（moment-generating function）為 M X (t ) = e ( t + 2 t ) ；試問此隨機變數X的期望值（mean）為何？
1. (A) 0
2. (B) 0.5
3. (C) 1
4. (D) 2
正解：(C)
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