高普考　112 年高考三級工程數學　考古題與詳解

本卷共 20 題，其中 16 題附有本站自撰的逐題詳解。題目與標準答案取自考選部「考畢試題查詢平臺」的公開資料；詳解由本站撰寫並標註出處。本頁列出全部題目與標準答案，並免費試讀前 3 題的詳解；其餘詳解在線上作答時逐題顯示。

▶ 線上作答這一卷（20 題，建議 60 分鐘）

1二階微分方程 y ''− y '− 12 y = 2sinh 2 ( x) ，初始值未知，試問其全解（通解加特解）為何？1 1 1 1
1. (A) C1e 4 x + C2e −3 x + (1 − e−2 x ) − e 2 x
2. (B) C1e 4 x + C2e −3 x +(1 − e−2 x ) − e2 x6 12 12 201 1 1 1 1
3. (C) C1e4 x + C2e−3 x + ( − e−2 x ) − e 2 x
4. (D) C1e4 x + C2e−3x + e−2 x − e2 x12 10 6 12 20
正解：(B)
2二階微分方程 3 y ''+ 12 y = 2 tan(2 x) ，試問其特解為何？1 1
1. (A) − sin(2 x) · ln sec(2 x) + tan(2 x)
2. (B) − sin(2 x) · ln csc(2 x) + cot(2 x )6 21 1
3. (C) − cos(2 x) · ln csc(2 x) + tan(2 x)
4. (D) − cos(2 x) · ln sec(2 x) + tan(2 x)6 6
正解：(D)
3（本題題幹與選項都在圖上，請見下圖作答）
正解：(A)
逐題詳解（免費試讀）
✅ (A) L{sin ωt}＝ω/(s²＋ω²)，乘 t 後對 s 微分取負得 2ωs/(s²＋ω²)²；再由第一移位定理 s→s＋2，得 2ω(s＋2)/[(s＋2)²＋ω²]²。
❌ (B) 分子漏了 ω 這一因子。
❌ (C) 分子漏了 2ω 兩個因子。
❌ (D) 微分乘 t 的公式取負號後應為正，符號有誤。
📚 出處：拉式轉換的微分性質與第一移位定理
4（本題題幹與選項都在圖上，請見下圖作答）
正解：(B)
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5若 f ( x) = {0, 1 < x < 2，且 f ( x ) = f ( x + 2 ) 。若 f ( x ) 之傅立葉級數（ Fourier Series ）為∞f ( x) = a0 ∑ (ak cos π kx + bk sin π kx) ，下列何者為非？k =11 2 1 2
1. (A) a0 =
2. (B) a1 = −
3. (C) a2 = −
4. (D) a3 = −4 π2 2π 2 9π 2
正解：(C)
6（本題題幹與選項都在圖上，請見下圖作答）
正解：(D)
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7（本題題幹與選項都在圖上，請見下圖作答）
正解：(A)
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8一曲線參數式為 x(t ) = et cos t ， y(t ) = et sin t ， z(t ) = et ， 0 ≤ t ≤ π ，其單位切線向量為何？（其中$ $ $iˆ ， ĵ ， k̂ 為三度空間R 之單位向量， i = (1, 0, 0) ， j = (0,1, 0) ， k = (0, 0,1) ）1 1 1
1. (A) (cos t − sin t )iˆ + (cos t -sin t ) ˆj + sin t kˆ3 3 31 1 1 ˆ
2. (B) (cos t − sin t )iˆ + (cos t + sin t ) ˆj + k3 3 31 1 1 ˆ
3. (C) cos tiˆ + sin tjˆ + k3 3 31 1 ˆ 1
4. (D) sin tiˆ + j+ cos tkˆ3 3 3
正解：(B)
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9（本題題幹與選項都在圖上，請見下圖作答）
正解：(D)
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10某大學111學年度第二學期工程數學某班共有男生6人，女生5人，期中考試成績如下：男生：88, 77, 40, 58, 72, 92女生：84, 60, 74, 50, 95試求以男、女生做為區分條件時之標準差（standard deviation）各為何？（請選數值最接近者）
1. (A) 男生：16.95；女生：15.78
2. (B) 男生：17.78；女生：16.14
3. (C) 男生：17.78；女生：15.78
4. (D) 男生：16.95；女生：16.14
正解：(B)
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11（本題題幹與選項都在圖上，請見下圖作答）
正解：(A)
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12（本題題幹與選項都在圖上，請見下圖作答）
正解：(B)
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13定義 i = −1 ，求 (1 + i)12 的運算結果為何？
1. (A) -64
2. (B) -128
3. (C) -512
4. (D) -256S −1
正解：(A)
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14（本題題幹與選項都在圖上，請見下圖作答）
正解：(A)
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15（本題題幹與選項都在圖上，請見下圖作答）
正解：(A)
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16（本題題幹與選項都在圖上，請見下圖作答）
正解：(A)
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17方程式 e x y' = 2(x+1)y 2 , y(0) = 1/ 6 之解為下列何者？1 −1 1 1
1. (A) y =
2. (B) y =
3. (C) y=
4. (D) y =(2 x + 4)e − x + 2 (2 x − 4)e − x − 2 (−2 x + 4)e− x + 2 (2 x + 4)e x + 21 s −1
正解：(A)
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18求 2 ( ) 之反拉式轉換（Inverse Laplace Transform）為下列何者？s s +1
1. (A) −2e− t + t + 2
2. (B) −2e− t − t + 2
3. (C) −2e− t + t − 2
4. (D) −2e− t − t − 2
正解：(B)
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19求 cosh(at)cos(at) 之拉式轉換為下列何者？（其中a為實數）2a 2 s 2a 2 +s 2 s 2 − 2a 2 s3A. 4 B. 4 C. D. 4s +4a 4 s +4a 4 s 4 +4a 4 s +4a 4sin 8t ∞
正解：(D)
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20已知 f (t ) = ， ∫ f (t )e− j 5t dt 之值為下列何者？（ j = −1 ） t −∞
1. (A) π
2. (B) π
3. (C) 2
4. (D) 2
正解：(D)