地方特考　103 年三等工程數學　考古題與詳解

本卷共 20 題，其中 19 題附有本站自撰的逐題詳解。題目與標準答案取自考選部「考畢試題查詢平臺」的公開資料；詳解由本站撰寫並標註出處。本頁列出全部題目與標準答案，並免費試讀前 3 題的詳解；其餘詳解在線上作答時逐題顯示。

▶ 線上作答這一卷（20 題，建議 60 分鐘）

1橢圓 x2 + 4y2 = 16 在點 P : (2 2 , 2 ) 的單位切線為何？
1. (A) x + 2y = 4 2
2. (B) x + 2y = 5 2
3. (C) 2x + y = 4 2
4. (D) 2x + y = 5 2
正解：(A)
逐題詳解（免費試讀）
✅ (A) 橢圓 x²/16＋y²/4＝1 在點 (x₀,y₀) 的切線為 x₀x/16＋y₀y/4＝1；代入 (2√2,√2) 得 2√2x/16＋√2y/4＝1，兩邊乘 16/(2√2) 得 x＋2y＝4√2。
❌ (B) 常數項應為 4√2 而非 5√2。
❌ (C) x 與 y 的係數比應為 1:2。
❌ (D) 係數與常數項均與切線公式不符。
📚 出處：圓錐曲線的切線公式
2設 u 和 v 均為可微分（differentiable）向量函數，則有關它們的散度（divergence）與旋度（curl）的＿＿＿等式，下列何者錯誤？
1. (A) curl v)=0
2. (B) div (u × v) = u ● curl v － v ● curl ucurl (u + v)= curl u + curl v
3. (C) curl (c v)=c curl (v)
4. (D) （註：c 為一常數）
正解：(B)
逐題詳解（免費試讀）
✅ (B) 正確的向量恆等式為 div(u×v)＝v·curl u − u·curl v，本項將兩項的正負號寫反，故錯誤。
❌ (A) div(curl v)＝0 為正確恆等式。
❌ (C) curl 為線性運算，curl(u＋v)＝curl u＋curl v 正確。
❌ (D) curl(cv)＝c·curl(v)（c 為常數）正確。
📚 出處：向量微分恆等式
3令 a,b,c 為三向量，則下列有關其內積（inner product）與外積（cross product）的敘述何者錯誤？
1. (A) a×b=b×a
2. (B) a ●b = b ●a
3. (C) a × (b + c) = a × b + a × c
4. (D) a ● (b + c) = a ● b + a ● c
正解：(A)
逐題詳解（免費試讀）
✅ (A) 外積不具交換性，正確關係為 a×b＝−(b×a)，故本項敘述錯誤。
❌ (B) 內積具交換性，a·b＝b·a 正確。
❌ (C) 外積對加法具分配性。
❌ (D) 內積對加法具分配性。
📚 出處：向量的內積與外積性質
4（本題題幹與選項都在圖上，請見下圖作答）
正解：(B)
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5（本題題幹與選項都在圖上，請見下圖作答）
正解：(C)
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6（本題題幹與選項都在圖上，請見下圖作答）
正解：(A)
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7（本題題幹與選項都在圖上，請見下圖作答）
正解：(D)
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8（本題題幹與選項都在圖上，請見下圖作答）
正解：(A)
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9下列選項何者為 ez 於 z = i 之泰勒展開式：∞ ∞∑ ∑ (n + 1)! ( z − i)n1 1( z − i)nn =0n! n =0∞ ∞∑ ∑ ei n! ( z − i)n +11 1ei ( z − i) nn=0n! n =0exp(2 z )
正解：(C)
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10假設 C 為沿著逆時針方向繞圓周 z = 1 ，試求積分 ∫ dz 為何？c z44π i 8π i 2π i3 3 3
正解：(B)
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11設複數 z = − 1 + i 3 ，其中 i = − 1 ，則 z31 之值為何？2 23 1 3 1 1 3−i − +i − +i2 2 2 2 2 22s − 1
正解：(D)
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12（本題題幹與選項都在圖上，請見下圖作答）
正解：(D)
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13（本題題幹與選項都在圖上，請見下圖作答）
正解：(B)
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14y′′ + 2 y′ + y = x2e− x , y(0) = 1, y′(0) = 0 ，則 y(1) = ？25 212e e
正解：(A)
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15請求出 d [ln( x / y)] 之解為下列何者？
1. (A) xdy − ydx
2. (B) ydx − xdyx2y2
3. (C) xdy − ydx
4. (D) ydx − xdyxyxy∞(−1) m 2m
正解：(D)
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16下列何者是級數 ∑ m x 的收斂半徑（radius of convergence）R？ m=0 9
1. (A) 1
2. (B) 1
3. (C) 9
4. (D) 3
正解：(B)
17（本題題幹與選項都在圖上，請見下圖作答）
正解：(C)
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18（本題題幹與選項都在圖上，請見下圖作答）
正解：(D)
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19（本題題幹與選項都在圖上，請見下圖作答）
正解：(B)
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2010 顆完全一樣的球分別標示為 0,1,2,...,9 並放置於一容器中，隨機從容器中取出一顆球並記下其標示之號碼，該號碼為奇數或 3 的倍數或小於 5 之機率為何？
1. (A) 6
2. (B) 7
3. (C) 8
4. (D) 9
正解：(D)
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