地方特考　107 年 三等 工程數學　考古題與詳解

本卷共 20 題，其中 18 題附有本站自撰的逐題詳解。題目與標準答案取自考選部「考畢試題查詢平臺」的公開資料；詳解由本站撰寫並標註出處。本頁列出全部題目與標準答案，並免費試讀前 3 題的詳解；其餘詳解在線上作答時逐題顯示。

▶ 線上作答這一卷（20 題，建議 60 分鐘）

1. 1下列那一組值會使矩陣 M = ⎢⎢a 0 3⎥⎥ 為“歪斜對稱”（skew-symmetric）矩陣？⎢⎣b c 0⎥⎦

   1. (A) a = 1, b = 2, c = 3
   2. (B) a = 1, b = -2, c =- 3
   3. (C) a = -1, b = -2, c = -3
   4. (D) a = -1, b = 2, c = -3

   正解：(C)

   逐題詳解（免費試讀）

   ✅ (C) 歪斜對稱要求 Mᵀ = −M，即對角線為 0 且 M_ij = −M_ji；依矩陣上三角元素 1、2、3 可得 a = −1、b = −2、c = −3。

   ❌ (A) 三個值的正負號全與對稱位置相同，不符定義。

   ❌ (B) b、c 的符號雖對，a 的符號有誤。

   ❌ (D) b 的符號有誤。

   📚 出處：歪斜對稱（skew-symmetric）矩陣的定義。

2. 2微分方程式(2xy3-3y)dx-(3x-3x2y2+6y)dy = 0 其解為何？（選項中 k 為任意常數）

   1. (A) x2y3+3xy+3x2 = k
   2. (B) x2y3-3xy+3y2 = k
   3. (C) x2y3-3xy-3y2 = k
   4. (D) x2y3+3xy-3x2 = k⎡1 − 2 3 ⎤

   正解：(C)

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   ✅ (C) 令 F = x²y³ − 3xy − 3y²，則 ∂F/∂x = 2xy³ − 3y、∂F/∂y = 3x²y² − 3x − 6y = −(3x − 3x²y² + 6y)，與原式完全相符。

   ❌ (A) 對 y 偏微後不含 −6y 項。

   ❌ (B) 對 x 偏微後的符號與原式不合。

   ❌ (D) 對 y 偏微的結果與原式不符。

   📚 出處：正合微分方程式。

3. 3求矩陣 A = ⎢⎢2 − 5 1 ⎥⎥ 的秩（rank）為何？⎢⎣1 − 4 − 7⎥⎦

   1. (A) 1
   2. (B) 2
   3. (C) 3
   4. (D) 0ez

   正解：(B)

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   ✅ (B) 行列式 = 1(35 + 4) + 2(−14 − 1) + 3(−8 + 5) = 39 − 30 − 9 = 0，故秩小於 3；又存在非零的二階子式（如左上角 2 × 2 之行列式 = −1），秩為 2。

   ❌ (A) 各列並非互為倍數。

   ❌ (C) 行列式為零，秩不可能為 3。

   ❌ (D) 矩陣非零矩陣。

   📚 出處：矩陣的秩。

4. 4令收斂區間為 0 < z < 1 ，試求複變數函數 f ( z ) = 以勞倫茲級數（Laurent series）表示時，z ( z 2 + 1)其留數（residue）應為下列何值？1 1A.0 B. C.1 D.2 6⎡3 0 ⎤

   

   正解：(C)

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5. 5⎢令矩陣 A = ⎢− 4 0 ⎥⎥，利用 QR 分解可得 A = QR，其中 Q 為一 3 × 2 正規正交行矩陣（orthonormal⎢⎣0 − 1 ⎥⎦⎡a b ⎤column matrix）， R = ⎢ ⎥ 為一 2 × 2 上三角矩陣（upper triangular matrix），且 a、b、c 均大於⎣0 c ⎦等於零，則下列敘述何者正確？

   1. (A) a+b+c = 5
   2. (B) abc = 5
   3. (C) a-b-c = 4
   4. (D) ab+bc+ca = 4⎡2 1 6 0⎤⎢1 1 3 − 1 ⎥⎥

   正解：(C)

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6. 6已知線性轉換 T : ℜ → ℜ ，且定義為 T (x) = Ax, A = ⎢4 4。下列何者為 ker(T)的基⎢1 2 3 − 3⎥⎢ ⎥⎣− 3 2 − 9 − 7⎦底（basis）？

   1. (A) {(-3, 0, 1, 0), (-1, 2, 0, 1)}
   2. (B) {(-3, 0, 1, 0), (-4, 2, 1, 1), (0, 1, 3, 1)}
   3. (C) {(2, 4, 1, 0), (-4, 2, 1, 1), (0, 1, 3, 1)}
   4. (D) {(2, 4, 1, 0), (0, 1, 3, 1)}z +1

   正解：(A)

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7. 7求複變函數積分 ∫ dz 之值，其中積分路徑 C 為複數平面上逆時鐘方向繞圓周 z − 1 = 2 ，

   1. (A) C
   2. (B) z
   3. (C) −
   4. (D) 2z2

   正解：(D)

8. 8下列何組向量可以是 R3 的一個基底？

   1. (A) {[1 2 3], [4 5 6], [7 8 9]}
   2. (B) {[1 4 5], [2 7 3]}
   3. (C) {[1 2 3], [4 5 6], [7 8 9], [2 1 1]}
   4. (D) {[1 2 5], [4 1 6], [2 1 1]}

   正解：(D)

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9. 9假設矩陣 A 為 3 × 3 的方陣，且其特徵值（eigenvalues） λ1 = 1 ， λ 2 = − 1 ， λ3 = −1 ，求 A50 =？選項中 I 為 3 × 3 單位方陣。

   1. (A) A
   2. (B) - A
   3. (C) I
   4. (D) -Iz

   正解：(C)

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10. 10假設 z = 3+2i，求 I m ( ) = ？z12 12 11 12A. B.− C.− D.−13 13 13 15

    

    正解：(B)

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11. 11求微分方程式 xy ′ + y = sin x 的解。（選項中 C 為任意常數）(− cos x + c) (− tan x + c) (− cos x + c sin x)

    1. (A) y=
    2. (B) y=
    3. (C) y = − cos x + c sin x
    4. (D) y=x x x

    正解：(A)

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12. 12下列何者是互為線性相依（linear dependent）？

    1. (A) y1 = cos wx , ＿＿＿ y 2 = sin wx , ＿＿＿ y3 = e x
    2. (B) y1 = e x , y2 = e 2 x , y3 = xe x
    3. (C) y1 = e 3 x , y2 = e 6 x , y3 = e 9 x
    4. (D) y1 = x , ＿＿＿ y2 = 3x , ＿＿＿ y3 = x 2

    正解：(D)

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13. 13設 y = a (t ) 為 y ′′(t ) + y ′(t ) + y (t ) = 2 之解，則 lim a(t ) 之值為何？t →∞

    1. (A) 0
    2. (B) 2
    3. (C) 4
    4. (D) ∞∞1 1

    正解：(B)

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14. 14以 Frobenius 級數 y = ∑ C n X n + r 求解 x 2 y′′ + x( + 2 x) y′ + ( x − ) y = 0 ，則其所得到的指示方程式n=0 2 2（Indicial equation）為何？1 1 1 1 1 1

    1. (A) r2 − r − = 0
    2. (B) r2 + r − = 0
    3. (C) r 2 + r −1 = 0
    4. (D) r 2 + 2r − =02 2 2 2 2 2⎧cos 2t , 0 ≤ t < 2π s(1 − e −2πs )

    正解：(A)

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15. 15已知 f (t ) = ⎨ 的拉普拉斯（Laplace）轉換為 F ( s ) = ，當給定一微分方程⎩ 0, t ≥ 2π s2 + 4為 x′′(t ) + 4 x (t ) = f (t ), x ( 0) = x ′(0) = 0 ，下列何者正確？1 1

    1. (A) x(t ) = t sin 2t if t < 2π
    2. (B) x(t ) = sin 2t if t ≥ 2π2 2π π 9 1
    3. (C) x( ) =
    4. (D) x( π ) = π4 8 4 2

    正解：(D)

16. 16白努利方程式（Bernoulli equation） y′ + p ( x) y + q ( x) y a = 0 可以何方式轉換為線性方程式？

    1. (A) 以變數變換 w = y − a 轉換
    2. (B) 以變數變換 u = y1−a 轉換
    3. (C) 以變數變換 v = y a +1 轉換
    4. (D) 要先知道一特解 S(X)後，以變數變換 z = S ( x ) + 轉換y⎧0, − π < x < 0⎫

    正解：(B)

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17. 17下列何者為函數 f ( x) = ⎨ ⎬ 之傅立葉級數（Fourier series）？⎩π , 0 ≤ x < π ⎭∞⎛ (−1)n − 1 ⎞ π ∞ ⎛ 1 − ( −1) n ⎞

    1. (A) π + ∑ ⎜⎜ cos nx ⎟⎟
    2. (B) + ∑ ⎜⎜ cos nx ⎟⎟n =1 ⎝ n ⎠ 2 n =1⎝ n ⎠∞⎛ (−1) n − 1 ⎞ π ∞ ⎛ 1 − (−1) n ⎞
    3. (C) π + ∑ ⎜⎜ sin nx ⎟⎟
    4. (D) + ∑ ⎜⎜ sin nx ⎟⎟n =1 ⎝ n ⎠ 2 n =1⎝ n ⎠

    正解：(D)

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18. 18給定一個連續隨機變數 X，其累積分布函數（cumulative distribution function）⎧⎪ 0 if x < 0⎪⎪ x2if 0 ≤ x < 1⎪ 7⎪ 2x 1F ( x) = ⎨ − if 1 ≤ x < 3 ，則機率 P ( X ≤ 1 | X ≤ 3) 之值為何？⎪ 7 7⎪5x x 11−⎪ 7 14 14− if 3 ≤ x < 5⎪⎪ 1.0 if 5 ≤ x⎩1 1 2 1A. B. C. D.2 5 3 3

    

    正解：(B)

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19. 19離散隨機變數 X 與 Y 之結合機率質量函數（joint probability mass function）為：⎧c ⋅ xy 2 , if x = 1,2, y = 1,2,3p X ,Y ( x, y ) = ⎨ ，試問下列何者正確？⎩0, otherwise4 5 10 12

    1. (A) E[ X ] =
    2. (B) E[ X ] =
    3. (C) E[ X ] =
    4. (D) E[ X ] =3 3 7 7

    正解：(B)

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20. 20投擲一個公正的骰子一次，規定出現點數 1，2，3，4 為成功（X=1），出現其餘點數則為失敗（X=0），求隨機變數 X 之變異數 Var(X)為何？1 2 2 4A. B. C. D.3 3 9 9

    

    正解：(C)

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題目與標準答案來源：考選部考畢試題查詢平臺（政府資訊公開資料）。最後更新：2026-10-04。