地方特考　110 年 三等 工程數學　考古題與詳解

本卷共 20 題，其中 17 題附有本站自撰的逐題詳解。題目與標準答案取自考選部「考畢試題查詢平臺」的公開資料；詳解由本站撰寫並標註出處。本頁列出全部題目與標準答案，並免費試讀前 3 題的詳解；其餘詳解在線上作答時逐題顯示。

▶ 線上作答這一卷（20 題，建議 60 分鐘）

1. 1若多項式 p1 ( x ) = x 2 − 2 x + 1， p2 ( x ) = 2 x 2 + ax − 1， p3 ( x ) = x 2 + x + b 所拓展（span）的子空間維度為3，則（a, b）為何？1 4 5

   1. (A) (2, )
   2. (B) (−1, −2)
   3. (C) (1, − )
   4. (D) (0, − )

   正解：(A)

   逐題詳解（免費試讀）

   ✅ (A) 以 x²、x、常數為座標，三多項式的係數矩陣行列式＝ab＋4b－a＋5；代入 a＝2、b＝1/4 得 4.5≠0，三者線性獨立，所拓展的子空間維度為 3。

   ❌ (B) 代入 a＝−1、b＝−2 得行列式為 0，三者線性相依。

   ❌ (C) 代入 a＝1、b＝−4/5 得行列式為 0。

   ❌ (D) 代入 a＝0、b＝−5/4 得行列式亦為 0。

   📚 出處：線性代數；多項式空間的線性獨立。

2. 2（本題題幹與選項都在圖上，請見下圖作答）

   

   正解：(C)

   逐題詳解（免費試讀）

   ✅ (C) 該矩陣可寫成 r[[cosθ, −sinθ],[sinθ, cosθ]]，r＝√(1²＋(√3)²)＝2，cosθ＝1/2、sinθ＝√3/2 故 θ＝60°。

   ❌ (A) r 為矩陣的模長 2，非 √3。

   ❌ (B) r＝1 不符，且旋轉方向為逆時針。

   ❌ (D) 正弦項為正，旋轉角應為 ＋60°。

   📚 出處：線性代數；旋轉伸縮矩陣。

3. 3（本題題幹與選項都在圖上，請見下圖作答）

   

   正解：(D)

   逐題詳解（免費試讀）

   ✅ (D) det(A)＝1×(2×1−0)＋1×(0−2×2)＝2−4＝−2，故 det(A⁵)＝(−2)⁵＝−32。

   ❌ (A) 32 漏計負號。

   ❌ (B) 矩陣非奇異，行列式不為 0。

   ❌ (C) −16 為 (−2)⁴ 的負值，次方數有誤。

   📚 出處：線性代數；det(Aⁿ)＝(det A)ⁿ。

4. 4（本題題幹與選項都在圖上，請見下圖作答）

   

   正解：(A)

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5. 5（本題題幹與選項都在圖上，請見下圖作答）

   

   正解：(B)

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6. 6（本題題幹與選項都在圖上，請見下圖作答）

   

   正解：(D)

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7. 7微分方程式 y′ + cos( x) y = 1，初始值 y (π ) = A。若 y ( x ) 的級數解為 y ( x) = ∑ an ( x − π )n ，則 a3 為何？n =01 1+ AA.1 B. C.A D.6 2

   

   正解：(B)

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8. 8函數 f ( x) = e −2 x ， − 1 ≤ x ≤ 1，其傅立葉級數（Fourier series）在 x = −1 時收斂於 A ，在 x = 0 時收斂於 B ，在 x = 1 時收斂於 C 。則 A + B + C 為何？−2 e 2 − e −2 e2 + e−2A. e − e +1B. +1 C. D. e 2 + e −2 + 12 2

   

   正解：(D)

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9. 9考慮定義於頂點為 (0, 0) 、 (3, 0) 、 (2, 2) 的三角形的連續隨機變數 X 和 Y ，其機率密度函數（probability density function）為均勻分配（uniform distribution）。機率 Pr ( X ≤ 2, Y ≤ 1) 為何？

   1. (A) 3
   2. (B) 3
   3. (C) 1
   4. (D) 48 4 2 5

   正解：(C)

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10. 10（本題題幹與選項都在圖上，請見下圖作答）

    

    正解：(B)

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11. 11矩陣 X = 的秩（rank）為何？-1 -3 -2 -50 2 0 4

    1. (A) 1
    2. (B) 2
    3. (C) 3
    4. (D) 4

    正解：(B)

12. 12下列何者構成空間R3 的基底？

    1. (A) [1, 2, 0] 和 [0, 1,-1]
    2. (B) [1, 1,-1]，[2, 3, 4]，[4, 1, -1] 和 [0, 1, -1]
    3. (C) [1, 2, 2]，[-1, 2, 1] 和 [0, 8, 0]
    4. (D) [1, 2, 2]，[-1, 2, 1] 和 [0, 8, 6]

    正解：(C)

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13. 13已知一個3×3矩陣B的特徵值（eigenvalues）為 0, 1, 2，請問這些已知資訊尚不足以決定下列那個值？

    1. (A) B的秩（rank）
    2. (B) BT B 的特徵值
    3. (C) BT B 的行列式值
    4. (D) (B+I )-1 的特徵值-1 T

    正解：(B)

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14. 14有一投影矩陣 =A AT A A ，其中A為 m×n 矩陣，其秩為n。請問下列何者錯誤？

    1. (A) P =P T
    2. (B) P -1 =P
    3. (C) P 2 =P
    4. (D) P 123 =P

    正解：(B)

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15. 15下列何者是級數∑∞n=0 16 (z+i) 的收斂區域？n 4n

    1. (A) |z+i|< 2
    2. (B) |z+i|<1
    3. (C) |z+i|<2
    4. (D) |z+i|<4

    正解：(A)

16. 16微分方程式 y′′ + 3 y′ + 2 y = f (t ) ，初始值 y (0) = y′(0) = 0 。若 y (t ) 的拉式轉換（Laplace transform）為 Y ( s) = 2 ，則 f (t ) 為何？( s + 3s + 2)( s − 2)2

    1. (A) te −2t
    2. (B) t 2 e −2t
    3. (C) te2t
    4. (D) t 2e2tt

    正解：(C)

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17. 17積分方程式y(t)+ ∫0 (t-τ)y(τ)dτ =1的解為何？

    1. (A) y(t)= cos t
    2. (B) y(t)= sin t
    3. (C) y(t)= cos t + sin t
    4. (D) y(t)=et

    正解：(A)

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18. 18欲以積分因子（integrating factor）求解微分方程式 − + = 0，請問下列何者不為合適的積分因子，因其無法將方程式化為正合（exact）形式？

    1. (A) 1⁄x2
    2. (B) 1⁄xy
    3. (C) 1⁄(x2 +y2 )
    4. (D) xy

    正解：(D)

19. 19一副撲克牌 52 張牌中包含 4 種花色（黑桃、方塊、紅心、梅花） ，每種花色 13 張牌。每抽一張牌後即將所抽的牌放回去洗牌重抽，請問這樣抽三次牌其中包含至少兩張黑桃的機率有多少？

    1. (A) 5⁄16
    2. (B) 27⁄64
    3. (C) 9⁄64
    4. (D) 5⁄32

    正解：(D)

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20. 20假設一輛公車到達一個車站的時間為均勻分布於區間(t1 , t2 )，而其平均值為 14:00，標準差為√12分鐘。請問(t1 , t2 )的區間為何？

    1. (A) (13:54,14:06)
    2. (B) (13:53,14:07)
    3. (C) (13:52,14:08)
    4. (D) (13:51,14:09)

    正解：(A)

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題目與標準答案來源：考選部考畢試題查詢平臺（政府資訊公開資料）。最後更新：2026-10-04。