地方特考　108 年三等工程數學　考古題與詳解

本卷共 20 題，其中 19 題附有本站自撰的逐題詳解。題目與標準答案取自考選部「考畢試題查詢平臺」的公開資料；詳解由本站撰寫並標註出處。本頁列出全部題目與標準答案，並免費試讀前 3 題的詳解；其餘詳解在線上作答時逐題顯示。

▶ 線上作答這一卷（20 題，建議 60 分鐘）

1（本題題幹與選項都在圖上，請見下圖作答）
正解：(C)
逐題詳解（免費試讀）
✅ (C) 平行六面體體積＝|u·(v×w)|；行列式展開得 1(4·2－6·(−4))＋1((−3)·2－6·(−2))－1((−3)(−4)－4·(−2))＝32＋6－20＝18。
❌ (A) 9 為體積的一半，計算有誤。
❌ (B) 9√2 與純量三重積的結果不符。
❌ (D) 18√2 多乘了一個 √2。
📚 出處：向量代數；純量三重積與平行六面體體積。
2（本題題幹與選項都在圖上，請見下圖作答）
正解：(C)
逐題詳解（免費試讀）
✅ (C) A 的特徵多項式為 λ³－6λ²＋11λ－6＝(λ－1)(λ－2)(λ－3)，特徵值為 1、2、3，Rayleigh 商的最大值取最大特徵值 3。
❌ (A) 1 為最小特徵值。
❌ (B) 2 為中間的特徵值。
❌ (D) 4 非 A 的特徵值。
📚 出處：線性代數；Rayleigh 商與特徵值。
3（本題題幹與選項都在圖上，請見下圖作答）
正解：(C)
逐題詳解（免費試讀）
✅ (C) P 的各行為 A 的特徵向量：由 A(a,0,1)ᵀ 第二列得 a＝2，由 A(b,1,0)ᵀ 第三列得 b＝1，由 A(0,1,c)ᵀ 第一列得 c＝1，故 a－b－c＝0。
❌ (A) a＋b＋c＝4，非 5。
❌ (B) a×b×c＝2，非 4。
❌ (D) a×b/c＝2，非 1。
📚 出處：矩陣對角化；特徵向量的求法。
4（本題題幹與選項都在圖上，請見下圖作答）
正解：(B)
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5（本題題幹與選項都在圖上，請見下圖作答）
正解：(C)
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6（本題題幹與選項都在圖上，請見下圖作答）
正解：(B)
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7下列何者為 (−64) 4 的複數根？
1. (A) −1 − i
2. (B) −2 − i
3. (C) −1 − 2i
4. (D) −2 − 2i
正解：(D)
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8（本題題幹與選項都在圖上，請見下圖作答）
正解：(A)
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9（本題題幹與選項都在圖上，請見下圖作答）
正解：(B)
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10假設 f (z) =z ∫C f ( z)dz 之值，C 為 z − 2 = 1 之逆時針之圓周。
1. (A) 0
2. (B) 2π i
3. (C) −2π i
4. (D) 4π i
正解：(A)
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11假設 k1e ax + k 2 e bx + e cx 為微分方程式 y′′ − 6 y′ + 8 y = 3e x 的解，則 a + b + c 為何？
1. (A) -6
2. (B) -4
3. (C) 7
4. (D) 9e− z
正解：(C)
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12假設路徑 C 是一逆時針的正方形，其各邊位於直線 x = ±2 和 y = ±2 之上。試求出 ∫ dz 值為何？( 2)C z − πi
1. (A) 2π
2. (B) π
3. (C) −π i
4. (D) 1
正解：(A)
13給定一組微分方程式 x1′ = − x2 , x′2 = 1.01x1 − 0.2 x2 ，起始值為 x1 (0) = 0, x2 (0) = −1 ，則 lim x2 (t ) = ？t →+∞
1. (A) -1
2. (B) 0
3. (C) 1
4. (D) 無窮大s +1
正解：(B)
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14令 F (s) = ，試求 F(s)之反拉普拉斯轉換（inverse Laplace transform） f (t ) = L−1 { F ( s )} ？s ( s + 1)2 2
1. (A) 1 − sin(t ) + cos(t ), t > 0
2. (B) t + sin(t ) − cos(t ), t > 0
3. (C) 1 + t − sin(t ) − cos(t ), t > 0
4. (D) 1 + t + sin(t ) + cos(t ), t > 0∂ 2u ∂u
正解：(C)
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15（本題題幹與選項都在圖上，請見下圖作答）
正解：(B)
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16（本題題幹與選項都在圖上，請見下圖作答）
正解：(B)
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17（本題題幹與選項都在圖上，請見下圖作答）
正解：(C)
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18（本題題幹與選項都在圖上，請見下圖作答）
正解：(B)
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19（本題題幹與選項都在圖上，請見下圖作答）
正解：(D)
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20（本題題幹與選項都在圖上，請見下圖作答）
正解：(B)
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